Bảng Đạo Hàm Đầy Đủ Lớp 12 — 35 Công Thức Phải Thuộc Trước Khi Thi

Đạo hàm là gì? Tại sao cần thuộc bảng đạo hàm?

Nhiều học sinh lớp 12 khi bước vào chương trình Giải tích thường gặp một cái bẫy rất phổ biến: hiểu lý thuyết đạo hàm nhưng lại không thuộc công thức. Hậu quả là khi gặp bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, hay bài tính tích phân, học sinh loay hoay mà không ra kết quả vì không nhớ đạo hàm của sin x hay e^x là gì.

Đạo hàm là công cụ cốt lõi của Giải tích — nó đo tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm. Về mặt hình học, đạo hàm f'(x₀) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại điểm (x₀, f(x₀)). Trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, đạo hàm xuất hiện trực tiếp hoặc gián tiếp trong khoảng 20–25% tổng số câu hỏi: từ khảo sát hàm số, tìm cực trị, viết phương trình tiếp tuyến cho đến tích phân bất định và xác định.

Tại sao bảng đạo hàm quan trọng đến vậy?

• Không thuộc bảng đạo hàm = không giải được bài tìm cực trị hàm số (chiếm 4–6 câu trong đề thi).
• Bài tích phân yêu cầu bạn đọc ngược lại bảng đạo hàm để tìm nguyên hàm.
• Đạo hàm hợp là dạng bài cực kỳ hay ra trong đề — nếu không nhớ quy tắc đạo hàm hợp, bạn sẽ sai từ bước đầu tiên.

Bài viết này tổng hợp toàn bộ bảng đạo hàm gồm 35 công thức — từ đạo hàm cơ bản đến đạo hàm hợp, đạo hàm hàm lượng giác, hàm mũ và hàm logarit — kèm ví dụ minh họa và mẹo ghi nhớ nhanh.

---

Bảng đạo hàm cơ bản (15 công thức)

Dưới đây là 15 công thức đạo hàm cơ bản nhất mà học sinh lớp 12 cần thuộc lòng. Đây là nền tảng để tính đạo hàm của bất kỳ hàm số nào.

Hàm số f(x)	Đạo hàm f'(x)	Điều kiện
c (hằng số)	0	Đạo hàm hằng số luôn bằng 0
x	1	—
x^n	n·x^(n−1)	n thuộc R, n khác 0
căn(x)	1 / (2·căn(x))	x dương
1/x	−1/x²	x khác 0
e^x	e^x	Hàm duy nhất tự đạo hàm chính nó
a^x	a^x · ln(a)	a dương, a khác 1
ln(x)	1/x	x dương
log_a(x)	1 / (x·ln(a))	x dương, a dương, a khác 1
sin(x)	cos(x)	x tính bằng radian
cos(x)	−sin(x)	Chú ý dấu trừ!
tan(x)	1 / cos²(x)	x khác π/2 + kπ
cot(x)	−1 / sin²(x)	x khác kπ

Ví dụ công thức đạo hàm viết đầy đủ:

$f(x)=x^n\Rightarrow f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$

$f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của f(x) = x⁵ − 3x² + 7.

$f^{\prime }(x)=5x^4-6x$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của g(x) = căn(x) + 1/x.

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}$

---

Bảng đạo hàm hợp (10 công thức)

Đạo hàm hợp là dạng bài xuất hiện nhiều nhất trong đề thi THPT. Quy tắc cơ bản: nếu u = u(x) là hàm số của x, thì:

$[f(u){]}^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }$

Tức là: đạo hàm hàm ngoài (giữ nguyên hàm trong) nhân với đạo hàm hàm trong.

Hàm hợp	Đạo hàm hợp	Điều kiện
u^n	n·u^(n−1)·u'	Quy tắc lũy thừa hợp
căn(u)	u' / (2·căn(u))	u dương
1/u	−u'/u²	u khác 0
e^u	e^u · u'	Rất hay gặp
a^u	a^u · ln(a) · u'	a dương, a khác 1
ln(u)	u'/u	u dương
log_a(u)	u' / (u·ln(a))	u dương
sin(u)	cos(u)·u'	—
cos(u)	−sin(u)·u'	Chú ý dấu trừ
tan(u)	u' / cos²(u)	—

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của f(x) = sin(3x² + 1).

Đặt u = 3x² + 1, thì u' = 6x.

$f^{\prime }(x)=\cos (3x^2+1)\cdot 6x=6x\cos (3x^2+1)$

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của g(x) = e^(x² − 2x).

Đặt u = x² − 2x, thì u' = 2x − 2.

$g^{\prime }(x)=e^{x^2-2x}\cdot (2x-2)$

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của h(x) = ln(x² + 1).

Đặt u = x² + 1, thì u' = 2x.

$h^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

---

Đạo hàm các hàm lượng giác chi tiết

Phần này đặc biệt quan trọng vì học sinh thường nhầm lẫn dấu âm trong đạo hàm cos x và cot x.

Đạo hàm hàm lượng giác cơ bản

Bốn công thức cần thuộc lòng:

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

$(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Nhớ: cos và cot có đạo hàm mang dấu âm — hai hàm bắt đầu bằng "co" đều có dấu âm.

Đạo hàm hàm lượng giác hợp

Dạng hàm hợp	Đạo hàm
sin(f(x))	f'(x)·cos(f(x))
cos(f(x))	−f'(x)·sin(f(x))
tan(f(x))	f'(x) / cos²(f(x))
cot(f(x))	−f'(x) / sin²(f(x))

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của y = cos³(x).

Viết lại: y = (cos x)³. Đặt u = cos x, u' = −sin x.

$y^{\prime }=3(\cos x{)}^2\cdot (-\sin x)=-3\sin x{\cos }^{2}x$

Ví dụ 7: Tính đạo hàm của y = tan(x²).

$y^{\prime }=\frac{(x^2{)}^{\prime }}{{\cos }^2(x^2)}=\frac{2x}{{\cos }^2(x^2)}$

---

Đạo hàm hàm mũ và hàm logarit

Đây là dạng bài nhiều học sinh lớp 12 hay làm sai vì nhầm lẫn giữa e^x, a^x và các hàm hợp tương ứng.

Hàm mũ

Công thức quan trọng nhất cần nhớ — hàm mũ cơ số e tự đạo hàm chính nó:

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

Với hàm mũ cơ số a:

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

Khi a = e thì ln(e) = 1, nên (e^x)' = e^x · 1 = e^x — nhất quán.

Đạo hàm hàm mũ hợp:

$(e^{u(x)}{)}^{\prime }=e^{u(x)}\cdot u^{\prime }(x)$

Ví dụ 8: Tính đạo hàm của f(x) = 2^(3x+1).

$f^{\prime }(x)=2^{3x+1}\cdot \ln 2\cdot 3=3\ln 2\cdot 2^{3x+1}$

Hàm logarit

$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x},({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

Đạo hàm hàm logarit hợp:

$(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u},({\log }_{a}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u\ln a}$

Ví dụ 9: Tính đạo hàm của g(x) = ln((x+1)/(x−1)).

Dùng tính chất logarit trước: g(x) = ln(x+1) − ln(x−1).

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=\frac{-2}{x^2-1}$

---

5 Mẹo ghi nhớ nhanh bảng đạo hàm

Thuộc bảng đạo hàm không phải là học vẹt — có những cách ghi nhớ thông minh giúp bạn nhớ lâu hơn và ít nhầm hơn.

Mẹo 1: Quy tắc "hạ mũ, giảm 1"

Với x^n: kéo số mũ xuống làm hệ số, rồi giảm số mũ đi 1. (x⁵)' = 5x⁴. Đơn giản và cơ học.

Mẹo 2: Sin-Cos theo chiều kim đồng hồ

Vẽ vòng tròn: sin → cos → −sin → −cos → sin → ...

• Đạo hàm sin là cos (tiến 1 bước).
• Đạo hàm cos là −sin (tiến 1 bước, thêm dấu âm).
• Ngược lại khi tích phân.

Mẹo 3: Hai hàm có đạo hàm mang dấu âm

Trong 4 hàm lượng giác, cos và cot có đạo hàm mang dấu âm. Nhớ: "Co-âm" — hai hàm bắt đầu bằng "co" (cosine, cotangent) đều có dấu âm trong đạo hàm.

Mẹo 4: e^x là "bất tử"

e^x đạo hàm vẫn ra e^x — nó không thay đổi. Đây là tính chất duy nhất của hàm mũ cơ số e, cực kỳ dễ nhớ.

Mẹo 5: Đạo hàm ln là "lật ngược"

(ln x)' = 1/x — đạo hàm của logarit tự nhiên chính là "lật" hàm bên trong lên mẫu số. Với hàm hợp: (ln u)' = u'/u — vẫn là lật u lên mẫu, nhân thêm u' trên tử.

---

Bài tập tự luyện (5 câu có lời giải)

Bài 1

Tính đạo hàm của f(x) = x³ − 4x + 2/x.

Lời giải:

$f^{\prime }(x)=3x^2-4-\frac{2}{x^2}$

Bài 2

Tính đạo hàm của f(x) = (2x² − 3x + 1)⁴.

Lời giải:

Đặt u = 2x² − 3x + 1, thì u' = 4x − 3.

$f^{\prime }(x)=4u^3\cdot u^{\prime }=4(2x^2-3x+1{)}^3\cdot (4x-3)$

Bài 3

Tính đạo hàm của f(x) = sin²(x) + cos²(x).

Lời giải:

Ta biết sin²(x) + cos²(x) = 1 (hằng đẳng thức lượng giác), nên f(x) = 1, do đó f'(x) = 0.

Cũng có thể tính trực tiếp:

$f^{\prime }(x)=2\sin x\cos x+2\cos x\cdot (-\sin x)=0$

Bài 4

Tính đạo hàm của f(x) = e^(2x) · sin(x).

Lời giải (dùng công thức tích (uv)' = u'v + uv'):

Đặt u = e^(2x), v = sin(x). Thì u' = 2e^(2x), v' = cos(x).

$f^{\prime }(x)=2e^{2x}\cdot \sin x+e^{2x}\cdot \cos x=e^{2x}(2\sin x+\cos x)$

Bài 5

Tính đạo hàm của f(x) = ln(căn(x² + 1)).

Lời giải:

Viết lại: f(x) = (1/2)·ln(x² + 1).

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+1}=\frac{x}{x^2+1}$

---

Câu hỏi thường gặp

Câu 1: Đạo hàm của (sin x)² là gì? Tại sao không phải là 2·sin(x)?

(sin x)² là hàm hợp — hàm ngoài là bình phương, hàm trong là sin(x). Áp dụng đạo hàm hợp:

$[(\sin x{)}^2{]}^{\prime }=2\sin x\cdot (\sin x{)}^{\prime }=2\sin x\cdot \cos x=\sin 2x$

Nhiều học sinh nhầm viết 2·sin(x) vì quên nhân thêm đạo hàm hàm trong (sin x)' = cos x.

Câu 2: Khi nào dùng đạo hàm hợp và khi nào dùng công thức cơ bản?

• Dùng công thức cơ bản khi hàm trong chỉ là x (ví dụ: sin(x), e^x, x^n).
• Dùng đạo hàm hợp khi hàm trong là một biểu thức phức tạp hơn x (ví dụ: sin(3x+1), e^(x²), (x²+1)⁵).

Mẹo nhận biết: nếu thay thế hàm trong bằng chữ u và u không phải là x đơn thuần, thì cần đạo hàm hợp.

Câu 3: Làm thế nào để học thuộc bảng đạo hàm nhanh nhất trong 1 tuần?

Phương pháp hiệu quả nhất là luyện bài tập thực tế, không phải đọc thuộc lòng. Mỗi ngày làm 10 bài tính đạo hàm cơ bản, 10 bài đạo hàm hợp. Sau 1 tuần luyện tập tích cực, công thức sẽ tự khắc vào đầu. App Witza có bộ câu hỏi tính đạo hàm cho phép bạn luyện nhanh và nhận phản hồi ngay lập tức — rất phù hợp để ôn luyện hàng ngày.

Câu 4: Tại sao đạo hàm tan(x) lại là 1/cos²(x)?

Vì tan(x) = sin(x)/cos(x), dùng công thức đạo hàm thương (u/v)' = (u'v − uv')/v²:

$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

---

Ôn luyện đạo hàm đúng cách là chìa khóa để đạt điểm cao phần Giải tích trong kỳ thi THPT Quốc gia. Nếu bạn muốn luyện tập bảng đạo hàm một cách có hệ thống và kiểm tra kiến thức qua các bài thi thử tương tác, hãy thử Witza — ứng dụng học toán thông minh cho học sinh THPT, hỗ trợ giải bài bằng AI và chế độ đấu trí 1v1 với bạn bè.